Kinh Nghiệm Hướng dẫn Nếu hàm số liên tục và đồng biến trên khoảng chừng thì hàm số luôn đồng biến trên khoảng chừng nào 2022
Quý khách đang tìm kiếm từ khóa Nếu hàm số liên tục và đồng biến trên khoảng chừng thì hàm số luôn đồng biến trên khoảng chừng nào được Update vào lúc : 2022-04-17 10:30:12 . Với phương châm chia sẻ Thủ Thuật Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi đọc nội dung bài viết vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Mình lý giải và hướng dẫn lại nha.
Nội dung chính
- Tóm tắt lý thuyết tính đồng biến nghịch biến
- 1. Định nghĩa đồng biến, nghịch biến
- 2. Định lí
- 3. Định lí mở rộng
- 4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số
- Phân dạng bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng chừng
- Dạng 1. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng chừng
- Dạng 2. Biện luận đơn điệu của hàm phân thức
- Dạng 3: Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng chừng
- Dạng 4: Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên R
- Dạng 5: Tìm m để hàm số cho bởi đồ thị hàm F(x) đơn điệu
- Dạng 6: Tìm m để hàm giá trị tuyệt đối đơn điệu trên khoảng chừng cho trước
- Loại 2: Tìm Đk tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số dạng phân thức hữu tỷ VNĐ biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
- Loại 3: Tìm Đk tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số chứa căn đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
- Loại 4: Tìm Đk tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số lượng giác đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
- Loại 5: Tìm Đk tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số mũ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
- Loại 6: Tìm Đk tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số logarit đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
- Tài liệu tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng chừng
- Giả sử hàm số u = u(x) đồng biến với x ∊ (a;b). Khi đó, hàm số f [u(x)] đồng biến với x ∊ (a;b) ⇔ f(u) đồng biến với u ∊ (c;d)
- Giả sử hàm số u = u(x) nghịch biến với x ∊ (a;b). Khi đó, hàm số f [u(x)] nghịch biến với x ∊ (a;b) ⇔ f(u) nghịch biến với u ∊ (c;d)
- Dạng 1. Tìm khoảng chừng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị
- Dạng 2. Tìm khoảng chừng đơn điệu của hàm số cho trước
- Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên những khoảng chừng xác lập của nó
- Dạng 4. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng chừng cho trước
- Dạng 5. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng chừng cho trước
- Dạng 6. Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng chừng cho trước
- Dạng 7. Tìm khoảng chừng đơn điệu của hàm số f(u) lúc biết đồ thị hàm số f’(x)
- Dạng 8. Tìm khoảng chừng đơn điệu của hàm số f(u)+g(x) lúc biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x)
(1). Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng chừng 1 ; + ∞
(3). Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng chừng – 2 ; 1 .
(5). Hàm số y = f x 2 nghịch biến trên khoảng chừng (1;2)
(2). Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng chừng (1;2)
(4). Hàm số y = f(x) có hai điểm cực lớn và một điểm cực tiểu.
Số mệnh đề đúng là
A. 1
B. 3
C. 4
D. 2
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng chừng a ; b . Xét những mệnh đề sau:
I. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng chừng a ; b thì f ‘ x > 0 , ∀ x ∈ a ; b .
II. Nếu f ‘ x < 0 , ∀ x ∈ a ; b thì hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng chừng a ; b .
III. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên a ; b và f ‘ x > 0 , ∀ x ∈ a ; b thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên đoạn a ; b .
Số mệnh đề đúng là:
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ , thỏa mãn nhu cầu f(2) = f(-2) = 2022. Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số g x = f x – 2022 2 (1;2) nghịch biến trên khoảng chừng nào dưới đây?
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ , thỏa mãn nhu cầu f(2) = f(-2) =2022. Hàm số y = f'(x) có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hỏi hàm số g(x)= f x – 2022 2 (1;2). Ngịch biến trên khoảng chừng nào dưới đây
A . 1 ; 2
B . – 2 ; 2
C . 2 ; + ∞
D . – 2 ; – 1
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình dưới đây.
(II). Hàm số đồng biến trên khoảng chừng (-1;2).
Số mệnh đề đúng trong những mệnh đề sau là:
A. 4
B. 2
C. 3
D. 1
Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng chừng là một dạng toán tham số khi tham gia học về tính chất đồng biến, nghịch biến. Ở những cấp học nhỏ hơn, dạng toán này tồn tại dưới hình thức là một bài toán khó. Tuy nhiên, đến với chương trình toán THPT thì dạng toán này trở nên phổ cập, nhất là chương trình toán 12. Đó là nguyên do Verbalearn sẽ hỗ trợ bạn thống kê lại toàn bộ kiến thức và kỹ năng ngay trong nội dung bài viết này.
Tóm tắt lý thuyết tính đồng biến nghịch biến
1. Định nghĩa đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y = f(x) xác lập trên K , trong số đó K là một khoảng chừng, đoạn hoặc nữa khoảng chừng.
a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).
b) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).
2. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K .
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K .
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K .
c) Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không đổi trên K .
Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) > 0 trên khoảng chừng (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) < 0 trên khoảng chừng (a;b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].
3. Định lí mở rộng
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xẩy ra tại một số trong những hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xẩy ra tại một số trong những hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác lập.
Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm những điểm xᵢ (i = 1, 2, …,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác lập.
Bước 3: Sắp xếp những điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về những khoảng chừng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phân dạng bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng chừng
Chúng ta sẽ tìm hiểu 6 dạng như sau để sở hữu cái nhìn tổng quan nhất về những bài tập biện luận tham số m liên quan đến tính đồng biến và nghịch biến trên khoảng chừng của hàm số.
Dạng 1. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng chừng
Phương pháp giải:
Hàm số đồng biến trên ℝ thì y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ 
hoặc suy biến 
Hàm số nghịch biến trên ℝ thì y’ ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ 
hoặc suy biến
Ví dụ 1: Tìm toàn bộ những giá trị thực của tham số m sao cho hàm số giảm trên nửa khoảng chừng [1; +∞)?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Tập xác lập D = ℝ, yêu cầu của bài toán đưa tới giải bất phương trình
mx2 + 14mx + 14 ≤ 0, ∀ x ≥ 1 tương tự với
Dễ dàng đã có được g(x) là hàm tăng ∀ x ∊ [1; +∞), suy ra
Kết luận:
Ví dụ 2: Xác định những giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 3mx2 – m nghịch biến trên khoảng chừng (0;1)?
A. m ≥ 0
B.
C. m ≤ 0
D.
Lời giải
Chọn D
y’ = mx2 – 6mx = 0
Hàm số y = x3 – 3mx2 – m nghịch biến trên khoảng chừng (0;1) ⇔ 2m ≥ 1 ⇔ m ≥ ½
Ví dụ 3: Tìm toàn bộ những giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 3×2 – mx + 1 đồng biến trên khoảng chừng (-∞;0).
A. m ≤ 0
B. m ≥ -2 .
C. m ≤ -3
D. m ≤ -1
Lời giải
Chọn C
Tập xác lập: D = ℝ
Đạo hàm: y’ = 3×2 + 6x – m
Hàm số đồng biến trên khoảng chừng (-∞;0) khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x < 0
⇔ 3×2 + 6x – m ≥ 0, ∀ x < 0
Cách 1:
3×2 + 6x – m ≥ 0, ∀ x < 0 ⇔ 3×2 + 6x ≥ m, ∀ x < 0.
Xét hàm số f(x) = 3×2 + 6x trên khoảng chừng (-∞;0), ta có:
f’(x) = 6x + 6. Xét f’(x) = 0 ⇔ 6x + 6 = 0 ⇔ x = -1. Ta có f(-1) = -3.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: m ≤ -3 .
Cách 2:
Ta có ∆’ = 9 + 3m
Nếu ∆’ ≤ 0 ⇔ m ≤ -3 thì y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ y’ ≥ 0, ∀ x < 0
Nếu ∆’ > 0 thì y’ có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó để y’ ≥ 0, ∀ x < 0 thì ta phải có 0 ≤ x1 < x2. Điều này sẽ không còn thể xẩy ra vì S = x1 + x2 = -2 < 0
Vậy m ≤ -3.
Cách 3:
Phương án B: Với m = -3 ta có y = x3 + 3×2 + 3x + 1 = (x + 1)3. Khi đó y’ = 3(x + 1)3 ≥ 0 ∀ x
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng chừng (-∞;0). Vậy B là đáp án đúng.
Ví dụ 4: Tìm toàn bộ những giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 – 3mx2 – 9m2x nghịch biến trên khoảng chừng (0;1).
A.
B.
C. m < -1
D. hoặc m ≤ -1
Lời giải
Chọn D
Tập xác lập D = ℝ
y’ = 3×2 – 6mx -9m2
y’ = 0 ⇔ 3×2 – 6mx -9m2 = 0 ⇔ x2 – 2mx -3m2 = 0
Nếu –m = 3m ⇔ m = 0 thì y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ nên hàm số không còn tầm khoảng chừng nghịch biến.
Nếu –m < 3m ⇔ m > 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng chừng (-m; 3m).
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng chừng (0;1)
Kết phù thích hợp với Đk ta được
Nếu –m > 3m ⇔ m < 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng chừng (3m; -m)
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng chừng (0;1)
Kết phù thích hợp với Đk ta được m ≤ -1
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng chừng (0;1) khi m ≤ -1 hoặc
Dạng 2. Biện luận đơn điệu của hàm phân thức
Phương pháp giải được phân thành 2 loại như sau:
Loại 1. Tìm Đk của tham số để hàm 
đơn điệu trên từng khoảng chừng xác lập.
Tính
– Hàm số đồng biến trên từng khoảng chừng xác lập của nó ⇔ y’ > 0 ⇔ ad –cb > 0
– Hàm số nghịch biến trên từng khoảng chừng xác lập của nó ⇔ y’ < 0 ⇔ ad –cb < 0
Loại 2. Tìm Đk để hàm đơn điệu trên khoảng chừng
Tính
Hàm số đồng biến trên khoảng chừng (m;n):
Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng (m;n):
Ví dụ 1. Cho hàm số với m là tham số. Gọi S là tập. hợp. tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.
A. 4
B. Vô số
C. 3
D. 5
Lời giải
Chọn D
D = ℝ m;
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y’ < 0, ∀ x ∊ D ⇔ mét vuông – 4m < 0 ⇔ 0 < m < 4
Mà m ∊ ℤ nên có 3 giá trị thỏa mãn.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng chừng (10; +∞)?
A. Vô số
B. 4
C. 5
D. 3
Lời giải
Chọn B
Tập xác lập D = ℝ 5m
Hàm số nghịch biến trên (10; +∞) khi và chỉ khi
Mà m ∊ ℤ nên m ∊ -2; -1; 0; 1.
Ví dụ 3. Cho hàm số với m là tham số. Gọi S là tập hợp toàn bộ những giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên những khoảng chừng xác lập. Tìm số thành phần của S.
A. Vô số
B. 3
C. 5
D. 4
Lời giải
Chọn B
hàm số đồng biến trên khoảng chừng xác lập khi -1 < m < 3 nên có 3 giá trị của m nguyên
Dạng 3: Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng chừng
Hàm số khác ở đây ám chỉ nhiều chủng loại hàm đa thức bậc cao. Phương pháp chung là đặt ẩn hoặc biến hóa để về những dạng hàm số cơ bản hoặc tính f’ và giải như thông thường.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng chừng (0; +∞)
A. 0
B. 4
C. 5
D. 3
Lời giải
Chọn B
Hàm số đồng biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi
Xét hàm số
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta có m ≥ -4, suy ra những giá trị nguyên âm của tham số m là -4; -3; -2; -1.
Ví dụ 2. Gọi S là tập hợp toàn bộ những giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên ℝ. Tổng giá trị của toàn bộ những thành phần thuộc S bằng.
A.
B. -2
C.
D.
Lời giải
Ta có f’(x) = m2x4 – mx2 + 20x – (mét vuông – m – 20)
= mét vuông(x4 – 1) – m(x2 – 1) + 20(x + 1)
= mét vuông(x – 1)(x + 1)(x2 + 1) – m(x – 1)(x + 1) + 20(x + 1)
= (x + 1)[mét vuông(x – 1)(x2 + 1) – m(x – 1) + 20]
Ta có f’(x) = 0 có một nghiệm đơn là x = -1, do đó nếu (*) không sở hữu và nhận x = -1 là nghiệm thì f’(x) đổi dấu qua x = -1. Do đó để f(x) đồng biến trên ℝ thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ hay (*) nhận x = -1 làm nghiệm (bậc lẻ).
Suy ra: mét vuông (-1 – 1)(1 + 1) – m(-1 – 1) + 20 = 0 ⇔ -4m2 + 2m + 20 = 0
Tổng những giá trị của m là ½
Ví dụ 3. Tập hợp những giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng chừng xác lập của nó là.
A. [0; 1)
B. (-∞; 0]
C. [0; +∞) 1
D. (-∞; 0)
Lời giải
Chọn B
Tập xác lập: D = ℝ 2
Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng chừng xác lập của nó khi và chỉ khi:
y’ ≥ 0, ∀ x ∊ D
⇔ m ≤ (x – 2)2, ∀ x ∊ D
Xét hàm số f(x) = (x – 2)2 ta có:
f’(x) = 2x – 4 ⇒ f’(x) = 0 ⇔ x = 2
Bảng biến thiên:
Vậy, để hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng chừng xác lập của nó thì m ≤ 0 .
Ví dụ 4. Tìm toàn bộ những giá trị thực của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng chừng
A.
B.
C. m ≤ 3
D. m < 3
Lời giải
Chọn A
Điều kiện: cos x ≠ m.
Ta có:
Vì x ∊ ⇒ sin x > 0, (cos x – m)2 > 0, ∀ x ∊ ; cos x ≠ m.
Để hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ⇔ y’ < 0 ∀ x ∊
Chú ý : Tập giá trị của hàm số y = cos x, ∀ x ∊ là (-1; 0)
Ví dụ 5. Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong mức chừng (-10; 10) sao cho hàm số đồng biến trên (-8; 5)?
A. 14
B. 13
C. 12
D. 15
Lời giải
Đặt vì x ∊ (-8; 5) và đồng biến trên (-8; 5)
Hàm số trở thành tập xác lập D = ℝ m
Để hàm số đồng biến trên khoảng chừng
⇒ m ∊ -9; -8; -7; -6; -5; -4; -1; 0; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có 14 giá trị
Dạng 4: Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên R
Xét hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ y’ = 3ax2 + 2bx +c
TH1: a = 0 (nếu có tham số)
TH2: a ≠ 0
Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔
Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔
Ví dụ 1: Cho hàm số y = ⅓ x3 + mx2 + (3m – 2) x + 1. Tìm toàn bộ giá trị của m để hàm số nghịch biến trên ℝ.
A. (-2; -1)
B. [-2; -1]
C. (-∞; -2) ∪ (-1; +∞)
D. (-∞; -2] ∪ [-1; +∞)
Hướng dẫn giải
Ta có: y’ = -x2 + 2mx + 3m – 2
Hàm số nghịch biến trên ℝ
⇔ mét vuông – 3m + 2 ≤ 0 ⇔ m ∊ [-2; -1]
Đáp án B
Ví dụ 2: Cho hàm số y = ⅓ (m – 1)x3 – (m – 1)x2 – x + 1. Tìm m để hàm số nghịch biến trên ℝ.
A. -3 ≤ m ≤ 1
B. 0 ≤ m ≤ 1
C. (0; 1]
D. [0; 1)
Hướng dẫn giải
Ta có: y’ = (m – 1)x2 – 2(m – 1)x – 1
TH1: m – 1 = 0 ⇒ m = 1 ⇒ y’ = -1 < 0. Hàm số nghịch biến trên ℝ.
TH2: m ≠ 1. Hàm số nghịch biến trên ℝ khi:
⇔ m ∊ [0; 1)
Đáp án D
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y = x3 + 2(m + 1) x2 – 3mx + 5m – 2 đồng biến trên ℝ.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
y’ = 3×2 + 4(m + 1) x – 3m
Để hàm số đồng biến trên ℝ thì:
Đáp án A
Dạng 5: Tìm m để hàm số cho bởi đồ thị hàm F(x) đơn điệu
Định nghĩa 1
Giả sử K là một khoảng chừng, một đoạn hoặc một nửa khoảng chừng và y = f(x) là một hàm số xác lập trên K. Ta nói:
– Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).
– Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∊ K, x1 < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)
– Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.
Nhận xét 1
Nếu hàm số f(x) và g(x) cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f(x) + g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này hoàn toàn có thể không đúng riêng với hiệu f(x) – g(x).
Nhận xét 2
Nếu hàm số f(x) và g(x) là những hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f(x) ∙ g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này hoàn toàn có thể không đúng thời cơ những hàm số f(x), g(x) không là những hàm số dương trên D.
Nhận xét 3
Cho hàm số u = u(x), xác lập với x ∊ (a;b) và u(x) ∊ (c;d). Hàm số f [u(x)] cũng xác lập với x ∊ (a;b). Ta có nhận xét sau:
Định lý 1
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng chừng K. Khi đó:
a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng chừng K thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ K
b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng chừng K thì f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ K
Định lý 2
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng chừng K. Khi đó:
a) Nếu f’(x) > 0, ∀ x ∊ K thì hàm số f đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x) < 0, ∀ x ∊ K thì hàm số f nghịch biến trên K.
c) Nếu f’(x) = 0, ∀ x ∊ K thì hàm số f không đổi trên K.
Chú ý
Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta hoàn toàn có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng chừng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng chừng đó”. Chẳng hạn:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f’(x) > 0, ∀ x ∊ K thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]
Định lý 3
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng chừng K. Khi đó:
a) Nếu f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ K và f’(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ K và f’(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f nghịch biến trên K.
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm sốGiả sử hàm số f có đạo hàm trên K
– Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x ∊ K và f’(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm x ∊ K thì hàm số f đồng biến trên K.
– Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x ∊ K và f’(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm x ∊ K thì hàm số f nghịch biến trên K.
Ví dụ 1. Cho hàm số f(x). Hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình sau.
Có toàn bộ bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = 4f(x – m) + x2 – 2mx + 2022 đồng biến trên khoảng chừng (1; 2).
A. 2
B. 3
C. 0
D. 1
Ý tưởng: Phát triển thành bài toán chứa tham số.
Lời giải
Chọn A
Ta có g’(x) = 4f’(x – m) + 2x – 2m
g’(x) ≥ 0 ⇔
Đặt t = x – m thì (*) ⇔
Vẽ đường thẳng trên cùng hệ trục Oxy với đồ thị y = f’(x) như hình vẽ sau:
Từ đồ thị ta có
Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng chừng (1; 2) ⇔ g’(x) ≥ 0 ∀ x ∊ (1; 2)
Vì m nguyên dương nên m ∊ 2; 3
Vậy có hai giá trị nguyên dương của m để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng chừng (1; 2).
Dạng 6: Tìm m để hàm giá trị tuyệt đối đơn điệu trên khoảng chừng cho trước
Hàm số y = |f(x)| đồng biến trên [α;+∞) khi và chỉ khi:
Hàm số y = |f(x)| đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi:
Các dạng đồng biến y = |f(x)| trên [α;+∞), (α; β) ta thực thi tương tự.
Hàm số hỏi nghịch biến làm ngược lại.
Loại 1: Tìm Đk tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số dạng đa thức đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = |x5 – 5×2 + 5(m – 1)x – 8| nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;1)?
A. 2
B. 0
C. 4
D. 1
Lời giải:
Chọn D
Xét hàm số
f(x) = x5 – 5×2 + 5(m – 1)x – 8
TH1: f(x) = 0 có nghiệm x0 ∊ (-∞;1) thì hàm số y = |f(x)| không thể nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;1).
TH2: f(x) = 0 không còn nghiệm x0 ∊ (-∞;1)
Ta có: f’(x) = 5×4 – 10x + 5(m – 1)
Khi đó y = |x5 – 5×2 + 5(m – 1)x – 8| = |f(x)| =
Nên
Hàm số nghịch biến trên (-∞;1) khi và chỉ khi y’ ≤ 0 với ∀ x ∊ (-∞;1)
Mà m ∊ ℤ nên m = 3
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = |2×3 – mx + 1| đồng biến trên khoảng chừng (1; +∞)?
A. 2
B. 6
C. 3
D. 4
Lời giải:
Chọn C
Xét hàm số
f(x) = 2×3 – mx + 1
TH1: f(x) = 0 có nghiệm x0 ∊ (1;+∞) thì hàm số y = |f(x)| không thể nghịch biến trên khoảng chừng (1;+∞).
TH2: f(x) = 0 không còn nghiệm x0 ∊ (1;+∞)
Ta có: f’(x) = 6×2 – m
Khi đó y = |2×3 – mx + 1| = |f(x)| =
Nên
Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng (1;+∞) khi và chỉ khi y’ ≥ 0 với ∀ x ∊ (1;+∞)
⇒ m ∊ 1; 2; 3
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10 để hàm số y = |3×4 – 4×3 – 12×2 + m| nghịch biến trên khoảng chừng (-∞; -1)?
A. 6
B. 4
C. 3
D. 5
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số f(x) = 3×4 – 4×3 – 12×2 + m ⇒ f’(x) = 12×3 – 12×2 – 24x = 12x (x2 – x – 2)
⇒ f’(x) = 0
BBT:
Nhận thấy: Hàm số y = |f(x)| nghịch biến trên khoảng chừng (-∞; -1) ⇔ m – 5 > 0 ⇔ m ≥ 5.
Lại do ⇒ m ∊ 5; 6; 7; 8; 9
Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn nhu cầu yêu cầu bài toán.
Loại 2: Tìm Đk tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số dạng phân thức hữu tỷ VNĐ biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Tính tổng S toàn bộ những giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [-10; 10] để hàm số đồng biến trên (1; +∞).
A. S = 55
B. S = 54
C. S = 3
D. S = 5
Lời giải
Chọn B.
Xét hàm số với x ≠ -m – 2, có
Hàm số đồng biến (1; +∞) khi xẩy ra một trong hai trường hợp sau:
TH1:
TH2:
Vậy m ∊ (1; +∞), lại do suy ra m ∊ 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
Vậy S = 54
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên (1;+∞)
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Đặt . ĐK: x ≠ -m
Khi đó
Để hàm số đồng biến trên (1;+∞) ⇔
hoặc
Ta có
Vậy ⅓ < m ≤ 1
Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên [3; +∞)?
A. 4
B. 5
C. Vô số
D. 6
Lời giải
Chọn A
Tập xác lập: D = ℝ 1
Xét hàm số
Có
Khi đó
Hàm số đồng biến trên [3; +∞) ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ [3; +∞)
Vì m ∊ ℤ ⇒ m ∊ -2; -1; 0; 1
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn nhu cầu yêu cầu bài toán.
Loại 3: Tìm Đk tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số chứa căn đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số nghịch biến trên (0;1).
A. 4
B. 2
C. 3
D. 5
Lời giải
Chọn A
Đặt
Ta có
Do hàm số liên tục tại x = 0; x = 1 nên để hàm số nghịch biến trên (0;1) ta xét 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
(vô nghiệm)
Do m nguyên nên m nhận những giá trị sau -3; -2; -1; 0
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∊ (-5; 5) để hàm số nghịch biến trên (2; 3)?
A. 2
B. 3
C. 5
D. 9
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
Ta có
Cho f’(x) = 0
Ta thấy f’(x) < 0, ∀ x ∊ (2; 3) nên hàm số f(x) nghịch biến trên (2; 3)
Để nghịch biến trên (2; 3) thì
f(3) ≥ 0
Do m ∊ (-5; 5) nên m = -2; -3; -4
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∊ [0; 10] để hàm số đồng biến trên khoảng chừng (1;+∞)?
A. 11
B. 10
C. 12
D. 9
Lời giải
Chọn A
Tập xác lập D = ℝ
Xét hàm số
Hàm số đồng biến trên khoảng chừng (1;+∞)
TH1:
f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ (1;+∞)
Đặt t = x – 1, t > 0
Xét
Bảng biến thiên:
Từ BBT ta có
TH2:
f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ (1;+∞)
Đặt t = x – 1, t > 0
Mà nên với mỗi giá trị của m luôn có mức giá trị của t dương đủ nhỏ để VT của (*) to nhiều hơn 0.
Suy ra không còn mức giá trị nào của m để TH2 thỏa mãn nhu cầu.
Vậy có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn nhu cầu là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
Loại 4: Tìm Đk tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số lượng giác đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số y = |f(x)| = |x3 – 3×2 +3(mét vuông + 5) x + (12 – 3m2) cosx| đồng biến trên (0; π)
A. 3
B. 5
C. 4
D. Vô số
Lời giải
Chọn B
Đặt h(x) = x3 – 3×2 + 3(mét vuông + 5) x + (12 – 3m2) cosx.
Ta có h’(x) = 3×2 – 6x + 3(mét vuông + 5) – (12 – 3m2) sinx.
⇔ h’(x) = 3(x – 1)2 + 12(1 – sinx) + 3m2(1 + sinx) ≥ 0, ∀ x ∊ (0; π)
Vậy hàm số h(x) luôn đồng biến trên (0; π).
Để y = f(x) đồng biến trên (0; π). Thì h(0) ≥ 0 ⇔ (12 – 3m2) ≥ 0 ⇔ m ∊ [-2; 2]
Kết luận: có 5 giá trị m nguyên thỏa mãn nhu cầu.
Ví dụ 2. Các giá trị của tham số m để hàm số y = |sinx – cosx + m| đồng biến trên khoảng chừng là.
A.
B.
C. m > 1
D. m ≥ 1
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số f(x) = sinx – cosx + m =
Khi đó y = |sinx – cosx + m| = |f(x)| = . Nên
Hàm số y = |sinx – cosx + m| đồng biến trên khoảng chừng ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊
Với
Nên (1) ⇔ f(x) > 0, ∀ x ∊
Ví dụ 3. Cho hàm số y = |sin3x – m.sinx + 1|. Gọi S là tập hợp toàn bộ những số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên . Tính số thành phần của S .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Lời giải
Chọn A
Trên khoảng chừng , hàm số y = sinx đồng biến
Đặt t = sin x, x ∊ ⇒ t ∊ (0;1)
Khi đó hàm số y = |sin3x – m.sinx + 1| đồng biến trên khoảng chừng khi và chỉ khi
y = g(t) = |t3 – mt + 1| đồng biến trên (0;1)
Xét hàm số y = f(t) = t3 – mt + 1 trên khoảng chừng (0;1) có f’(t) = 3t2 – m.
+) Khi m = 0
f’(t) = 3t2 > 0, ∀ t ⇒ y = f(t) = t3 + 1 đồng biến trên (0;1) và đồng thời y = f(t) = t3 + 1 cắt trục hoành tại điểm duy nhất t = -1
⇒ y = g(t) = |t3 – mt + 1| đồng biến trên (0;1) ⇒ m = 0 thỏa mãn nhu cầu
+) Khi m > 0
f’(t) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Hàm số y = f(t) = t3 – mt + 1 đồng biến trên những khoảng chừng và
TH1: ⇔ 0 < m < 3
Hàm số y = f(t) = t3 – mt + 1 nghịch biến trên khoảng chừng và đồng biến trên khoảng chừng
⇒ Không có mức giá trị của m để y = g(t) = |t3 – mt + 1| đồng biến trên (0;1)
TH2: ⇔ m ≥ 3
Để y = g(t) = |t3 – mt + 1| đồng biến trên (0;1) thì t3 – mt + 1 ≤ 0, ∀ x ∊ (0;1)
⇔ mt ≤ t3 + 1, ∀ x ∊ (0;1)
⇒ Không có mức giá trị của m thỏa mãn nhu cầu
Vậy chỉ có mức giá trị m = 0 thỏa mãn nhu cầu
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [-5;5] để hàm số y = |cos3x – 3m2cosx| nghịch biến trên .
A. 1
B. 11
C. 5
D. 6
Lời giải
Chọn B
Đặt t = cos x, vì x ∊ ⇒ t ∊ (0;1)
Vì t =cos x là hàm số nghịch biến trên nên yêu cầu bài toán trở thành tìm m nguyên thuộc [-5;5] để hàm số y = |t3 – 3m2t| đồng biến trên (0;1).
Xét f(t) = t3 – 3m2t, t ∊ (0;1) ⇒ f’(t) = 3t2 – 3m2
TH1: Nếu m = 0 ⇒ f’(t) > 0, ∀ t ∊ (0;1) ⇒ f(t) luôn đồng biến trên (0;1)
Mà f (0) = 0 ⇒ y = |f(t)| luôn đồng biến trên (0; +∞)
⇒ y = |f(t)| luôn đồng biến trên (0;1)
Do đó m = 0 thỏa mãn nhu cầu bài toán (1)
TH2: m ≠ 0 ⇒ f’(t) = 0
*) Với m > 0 , ta có BBT sau:
Từ BBT suy ra hàm số y = |f(t)| luôn đồng biến trên (0; m)
YCBT tương tự (0;1) ⊂ (0; m) ⇔ m ≥ 1 (2)
*) Với m < 0 , ta có BBT sau:
Từ BBT suy ra hàm số y = |f(t)| luôn đồng biến trên (0; -m)
YCBT tương tự (0;1) ⊂ (0; -m) ⇔ m ≤ -1 (3)
Từ (1), (2) và (3) vậy có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn nhu cầu bài toán.
Loại 5: Tìm Đk tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số mũ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để y = |9x + 3x – m + 1| đồng biến trên đoạn [0;1]
A. 1
B. 4
C. 3
D. 6
Lời giải
Chọn C
Đặt 3x = t ⇒ t ∊ [1;3] vì t ∊ [0;1]
⇒ t = |t2 + t – m + 1| =
Để hàm số đồng biến trên đoạn t ∊ [1;3] thì
Với mọi giá trị của t ∊ [1;3] thì 2t + 1 > 0 nên
Để y’ ≥ 0, ∀ t ∊ [1;3] thì t2 + t – m + 1 ≥ 0, ∀ t ∊ [1;3]
⇒ m – 1 ≤ t2 + t = g(t) , ∀ t ∊ [1;3]
Vậy có 3 giá trị nguyên 1; 2; 3 thỏa mãn nhu cầu yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương và nhỏ hơn 2022 để hàm số y = |4x + m.2x+1 + m + 2| đồng biến trên khoảng chừng (0;1)?
A. 2022
B. 2022
C. 2
D. 3
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số f(x) = 4x + m.2x+1 + m + 2 (1) trên khoảng chừng (0;1)
Đặt t = 2x ⇒ t ∊ (1;2)
Hàm số (1) trở thành h(t) = t2 – 2mt + m + 2 trên khoảng chừng (1;2).
Suy ra h’(t) = 2t – 2m
Ta có y = |f(x)| đồng biến trên khoảng chừng (0;1) 
Vì hàm số t = 2x đồng biến trên khoảng chừng (0;1) 
Do đó,
Vậy có 2022 số nguyên dương nhỏ hơn 2022 thỏa ycbt.
Ví dụ 3. Cho hàm số (1). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng chừng (2;4)?
A. 234
B. Vô số
C. 40
D. Không tồn tại m
Lời giải
Chọn C
Đặt
Ta có ⇒ t ∊ (e2; e3), đồng thời x và t sẽ ngược chiều biến thiên.
Khi đó hàm số trở thành y = |t2 + 3t – 2m + 5| = (2)
Ta có:
Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng chừng (2;3) ⇔ hàm số (2) đồng biến trên khoảng chừng (e2; e3)
∀ x ∊ (e2; e3)
⇔ t2 + 3t – 2m + 5 > 0 ∀ x ∊ (e2; e3)
∀ x ∊ (e2; e3)
Có ∀ x ∊ (e2; e3)
Với Đk m là số nguyên dương ta tìm kiếm được 40 giá trị của m.
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m ∊ (-2022; 2022), để hàm số y = |e-x2 + ex2 – m| nghịch biến trên (1;e)?
A. 401
B. 0
C. 2022
D. 2022
Lời giải
Chọn A
Đặt f(x) = e-x2 + ex2 – m ⇒ f’(x) = -2xe-x2 + 2ex2
Ta có y = |f (x)| =
Yêu cầu bài toán ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ (1;e) (*)
Vì x ∊ (1;e) nên -2xe-x2 + 2ex2 = , ∀ x ∊ (1;e)
Khi đó, (*) ⇔ f(x) ≤ 0, ∀ x ∊ (1;e)
⇔ e-x2 + ex2 – m ≤ 0, ∀ x ∊ (1;e)
⇔ e-x2 + ex2 ≤ m, ∀ x ∊ (1;e)
Ta có mức giá trị lớn số 1 của hàm số y = e-x2 + ex2 ∀ x ∊ (1;e) là e-x2 + ex2
Nên m ≥ e-x2 + ex2 ≈ 1618,18
Vậy có 401 giá trị nguyên dương m thỏa mãn nhu cầu.
Loại 6: Tìm Đk tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số logarit đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng chừng (-100; 100) của tham số m để hàm số y = |ln3x – 4×2 + m| đồng biến trên đoạn [1;e2]?
A. 101
B. 102
C. 103
D. 100
Lời giải
Chọn B
y = |ln3x – 4×2 + m|. Điều kiện x > 0
Xét hàm số g(x) = ln3x – 4×2 + m trên [1;e2]
⇒ g(x) nghịch biến trên [1;e2]
⇒ Hàm số y = |g(x)| = |ln3x – 4×2 + m| đồng biến trên đoạn [1;e2]
⇔ ln3 – 4 + m ≤ 0 ⇔ m ≤ 4 – ln3
Mà m nguyên thuộc khoảng chừng (-100; 100) nên m ∊ -99; -98;…; -1; 0; 1; 2
Vậy có 102 giá trị m nguyên thỏa mãn nhu cầu yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu số nguyên m < 2022 để hàm số y = |ln(mx) – x + 2| nghịch biến trên (1;4)?
A. 2022
B. 2022
C. 1
D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
Xét f(x) = ln(mx) – x + 2.
Dễ thấy ∀ x ∊ (1;4): mx > 0 ⇔ m > 0
Khi đó
Do đó f(x) luôn nghịch biến trên (1;4)
Yêu cầu bài tóan tương tự với f(4) ≥ 0 ⇔ ln(4m) – 2 ≥ 0
Vậy m ∊ [2; 2019] có 2022 số nguyên thỏa mãn nhu cầu.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc (-2022; 2022) để hàm số y = |ln(x2 + 2x – m) – 2mx2 – 1| luôn đồng biến trên (0;10)?
A. 4038
B. 2022
C. 2022
D. 2022
Lời giải
Chọn C
Ta xét hàm số f(x) = ln(x2 + 2x – m) – 2mx2 – 1 trên (0;10)
Điều kiện hàm số nghĩa là x2 + 2x – m > 0, ∀ x ∊ (0;10)
⇔ x2 + 2x > m, ∀ x ∊ (0;10) (1)
Ta lại sở hữu x2 + 2x = x.(x + 2) > 0 với ∀ x ∊ (0;10) nên Đk (1) cho ta m ≤ 0 (2)
Đạo hàm do m ≤ 0 và x ∊ (0;10) nên
Suy ra f’(x) > 0 hàm số đồng biến trên (0;10).
Từ đó để hàm số y = |ln(x2 + 2x – m) – 2mx2 – 1| = |f(x)| đồng biến trên (0;10) Đk đủ là f(x) ≥ 0 với ∀ x ∊ (0;10) (3)
+) TH1: Xét m = 0
Khi đó f(x) = ln(x2 + 2x) – 1 có không thỏa mãn nhu cầu (3)
+) TH2: Xét m < 0
Do hàm số f(x) đồng biến nên ta chỉ việc f(0) ≥ 0 ⇔ ln(-m) – 1 ≥ 0 ⇔ -m ≥ e ⇔ m ≤ -e
Từ đó ta được:
⇔ m ∊ -2022; -2022; -2022;…; -3 có 2022 giá trị m thỏa mãn nhu cầu bài toán.
Ví dụ 4. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m trong đoạn [-3;3] để hàm số y = |ln(x3 + mx + 2)| đồng biến trên nửa khoảng chừng [1;3)?
A. 7
B. 4
C. 6
D. 5
Lời giải
Chọn C
Điều kiện xác lập: x3 + mx + 2 > 0
Xét hàm số f(x) = ln(x3 + mx + 2)
Ta có:
Hàm số đồng biến trên nửa khoảng chừng [1;3)
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Từ hai trường hợp trên suy ra m ≥ -2
Mà m ∊ [-3;3] ⇒ m ∊ -2; -1; 0; 1; 2; 3
Vậy có 6 số nguyên m thỏa mãn nhu cầu YCBT.
Tài liệu tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng chừng
tin tức tài liệuTác giảThầy Nguyễn Bảo VươngSố trang59Lời giải chi tiếtCó
Mục lục tài liệu:
Thầy Dũng dạy toán học từ thời điểm năm 2010 sau khi nhận bằng sư phạm môn toán tại trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Thành Phố Đà Nẵng. Triết lý dạy học của thầy luôn coi trọng chất lượng hơn số lượng bởi ở một góc nhìn nào đó, toàn bộ chúng ta sử dụng toán học hằng ngày trong môi trường tự nhiên vạn vật thiên nhiên sống đời thường và nên phải làm rõ về bản chất của nó thay vì học sơ sài. Thầy cảm hứng rất như mong ước khi được làm sửa đổi và biên tập viên cho môn toán tại VerbaLearn, nơi mà những bài dạy của thầy hoàn toàn có thể tiếp cận nhiều học viên hơn.
Share Link Down Nếu hàm số liên tục và đồng biến trên khoảng chừng thì hàm số luôn đồng biến trên khoảng chừng nào miễn phí
Bạn vừa đọc nội dung bài viết Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Review Nếu hàm số liên tục và đồng biến trên khoảng chừng thì hàm số luôn đồng biến trên khoảng chừng nào tiên tiến và phát triển nhất và Share Link Down Nếu hàm số liên tục và đồng biến trên khoảng chừng thì hàm số luôn đồng biến trên khoảng chừng nào miễn phí.
Giải đáp vướng mắc về Nếu hàm số liên tục và đồng biến trên khoảng chừng thì hàm số luôn đồng biến trên khoảng chừng nào
Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Nếu hàm số liên tục và đồng biến trên khoảng chừng thì hàm số luôn đồng biến trên khoảng chừng nào vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Admin lý giải và hướng dẫn lại nha
#Nếu #hàm #số #liên #tục #và #đồng #biến #trên #khoảng chừng #thì #hàm #số #luôn #đồng #biến #trên #khoảng chừng #nào