Chứng minh các đường thẳng đều đi qua một điểm Đầy đủ

Mẹo về Chứng minh những đường thẳng đều trải qua một điểm Mới Nhất

Quý khách đang tìm kiếm từ khóa Chứng minh những đường thẳng đều trải qua một điểm được Update vào lúc : 2022-12-04 20:29:13 . Với phương châm chia sẻ Bí kíp về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết Mới Nhất. Nếu sau khi Read Post vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha.

Những bài toán hình học liên qua đến yếu tố thay đổi thường gây thật nhiều trở ngại vất vả cho những em học viên. Để giải những bài toán dạng này, những em nên phải có những kiến thức và kỹ năng rộng và tư duy hình học tốt. Trong nội dung bài viết nhỏ này, tôi trình diễn một vài kinh nghiệm tay nghề giải những bài toán Đường qua điểm cố định và thắt chặt thông qua lời giải của một vài bài toán quen thuộc.

Nội dung chính

• Share this:


• Điều khuynh hướng về trong dung bài viết


• 
  

Đầu tiên, đường ở đây chỉ hoàn toàn có thể là đường thẳng hoặc đường tròn. Các bước thực thi bài toán là:



• Tìm được điểm cố định và thắt chặt.


• Chứng minh đường qua điểm cố định và thắt chặt đó.



Vậy làm thế nào để tìm kiếm được điểm cố định và thắt chặt? Đây là một việc khó, tất yếu không phải ai cũng nhận ra được điểm cố định và thắt chặt ngay, mà phải Dự kiến, mà Dự kiến bằng kinh nghiệm tay nghề và thực hành thực tiễn.



• Ta hoàn toàn có thể sử dụng những kiến thức và kỹ năng hình học đã biết, những định lý đã biết để Dự kiến.


• Vẽ nhiều hình. Ví dụ ta cần chứng tỏ đường $H$ qua điểm cố định và thắt chặt, ta vẽ được hai hình $H_1$ và $H_2$ thì giao của $H_1, H_2$ là yếu tố cố định và thắt chặt.


• Đến thời gian hiện nay, ta phải nhận ra được xem chất đặc biệt quan trọng của điểm cố định và thắt chặt đó, hoàn toàn có thể bằng trực giác để thấy ngay, đôi lúc nếu ta vẽ hình có lệch chút đỉnh, thì sử dụng cảm hứng hình học để tìm ra tính chất đặc biệt quan trọng. Mặt khác ta hoàn toàn có thể nối điểm cố định và thắt chặt mà ta phát hiện với những điểm cố định và thắt chặt có trên hình để tìm tính chất.


• Một số tính chất hay gặp: Điểm đặc biệt quan trọng của tam giác như trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, chân đường cao; Trung điểm đoạn thẳng (thường gặp), điểm $M$ thuộc tia $Ax$ mà $AM$ có độ dài không đổi,.


• Một để ý quan tâm là vai trò của những điểm cố định và thắt chặt có trên hình, nếu vai trò $B, C$ như nhau, thì điểm cố định và thắt chặt cũng luôn có thể có tính đối xứng riêng với $BC$ như: trung điểm $BC$, tạo với $B, C$ tam giác đều, vuông cân



Sau khi đã xác lập chắc như đinh điểm cố định và thắt chặt, ta đi chứng tỏ đường trải qua điểm cố định và thắt chặt đó. Việc chứng tỏ này tùy thuộc vào tính chất điểm cố định và thắt chặt.



• Nếu là đường thẳng qua điểm cố định và thắt chặt ta quy về việc chứng tỏ thẳng hàng mà những chuyên đề chứng tỏ thẳng hàng đã trình diễn.


• Nếu chứng tỏ đường tròn qua điểm cố định và thắt chặt, ta quy về việc chứng tỏ tứ giác nội tiếp mà chuyên đề tứ giác nội tiếp đã trình diễn.


• Cho đường thẳng hoặc đường tròn cắt một đường cố định và thắt chặt chứa điểm đó, tiếp theo đó chứng tỏ tính chất của điểm cố định và thắt chặt.



Ví dụ 1. (PTNK 2007) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ là yếu tố thay đổi trên cung $BC$ không chứa $A$. Gọi $H, K$ là hình chiếu của $A$ trên $PB, PC$. Chứng minh rằng $HK$ luôn trải qua một điểm cố định và thắt chặt.




Hướng dẫn




Đầu tiên khi $P$ thay đổi thì đường thẳng $HK$ cũng thay đổi, tất yếu ta chưa chắc như đinh ngay rằng $HK$ trải qua điểm cố định và thắt chặt nào. Vậy ta phải Dự kiến được điểm cố định và thắt chặt trước bằng phương pháp cho $P$ ở một vị trí khác, ta sẽ tiến hành đường $HK$. Khi đó $HK$ và $HK$ sẽ cắt nhau tại một điểm $T$ nào đó, vậy $T$ là yếu tố gì? Trong hình, có những điểm $A, B, C$ cố định và thắt chặt, ta tìm mối liên hệ của $T$ và $A, B, C$ trước. Đến đây bằng trực giác hình học, ta hoàn toàn có thể Dự kiến rằng $T$ thuộc $BC$ và $AT bot BC$, việc Dự kiến này là chủ quan nhờ vào trực giác và cảm hứng về mặt hình học. Nếu muốn chắc như đinh, chỉ hoàn toàn có thể là chứng tỏ một cách đúng chuẩn và rõ ràng.




Vậy khi đã đoán được điểm cố định và thắt chặt ta phải làm gì? Ta có nhiều phương pháp để xử lý và xử lý bài toán: hoàn toàn có thể gọi $T$ là giao điểm của $HK$ và $BC$, tiếp theo đó chứng tỏ $AT bot BC$ hoặc dựng $AT bot BC$, chứng tỏ $H, K, T$ thẳng hàng.




Trên đấy là một ví dụ về kiểu cách tâm ý khi ta cần xử lý và xử lý một bài toán kiểu thế này, tất yếu, nhiều bạn giỏi và nhanh nhẹn hơn hoàn toàn có thể nhận ra $HK$ là đường thẳng Simson của $A$ riêng với tam giác $PBC$, hoàn toàn có thể xử lý và xử lý ngay bài toán.









Gọi $T$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Ta chứng tỏ $H, K, T$ thẳng hàng.



• Ta có những tứ giác $ATBH, ATKC, ABPC$ nội tiếp. Suy ra $angle ATH = angle ABH = angle ACK = 180^circ angle ATK$.


• Suy ra $angle ATH + angle ATK = 180^circ$.


• Do đó $H, T, K$ thẳng hàng.


• Vậy $KH$ qua điểm $T$ cố định và thắt chặt.



Ví dụ 2.Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $d$ nằm ngoài $O$. $A$ là một điểm thay đổi trên $d$. Từ $A$ vẽ những tiếp tuyến $AB, AC$ đến $(O)$. Chứng minh $BC$ luôn trải qua một điểm cố định và thắt chặt.




Hướng dẫn




Tương tự cách làm như ví dụ 1, ta cũng phát hiện được điểm cố định và thắt chặt thuộc $BC$ là yếu tố $T$. Tuy vậy riêng với bài toán này, điểm $T$ có vẻ như hơi sống lưng chừng khó dự đó nó là yếu tố có đặc trưng gì.




Vì thế sau khi đã tìm kiếm được điểm $T$, ta thử nối $T$ với những yếu tố cố định và thắt chặt có trên hình, và chắc như đinh nó sẽ có được quan hệ với $O$, đường thẳng $d$ và đường tròn $(O)$.




Sau khi nối lại ta sẽ thấy được, có vẻ như $OT bot d$, vậy $T$ thuộc một tia cố định và thắt chặt. Việc còn sót lại chỉ việc chứng tỏ $OT$ có độ dài không đổi nữa là $T$ sẽ cố định và thắt chặt.








• Gọi $T$ là giao điểm của $BC$ và đường thẳng qua $O$ vuông góc $d$ và $E$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.


• Ta có $OH.OT = OE.OA = OB^2=R^2$ không đổi. Suy ra $OT = dfracR^2OH$.


• $OH$ cố định và thắt chặt, suy ra $T$ cố định và thắt chặt. Vậy $BC$ trải qua điểm cố định và thắt chặt.



Ví dụ 3. Cho đường tròn tâm $O$ và dây cung $BC$ cố định và thắt chặt. $A$ thay đổi trên cung lớn $BC$. Gọi $D$ là yếu tố đối xứng của $C$ qua $AB$, $E$ là yếu tố đối xứng của $B$ qua $AC$. Đường tròn ngoại tiếp những tam giác $ADC$ và $ABE$ cắt nhau tại điểm thứ hai $P$. Chứng minh rằng $AP$ luôn trải qua một điểm cố định và thắt chặt.




Gợi ý









Đây là một bài toán khá dễ toán điểm cố định và thắt chặt, đó đó đó là tâm $O$. Ta chứng tỏ $A, O, P$ thẳng hàng.



• Ta có $angle ADB = angle ACB$ (tc đối xứng). Và $angle ADP = angle ACE = angle ACB$. Suy ra $angle ADB = angle ADP$, do đó $D, B, P$ thẳng hàng.


• Chứng minh tương tự ta có $P, C, E$ thẳng hàng.


• Khi đó $angle BPC = 180^circ angle CAD = 180^circ 2angle A = 180^circ angle BOC$. Suy ra $PBOC$ nội tiếp. Mà $OB = OC$ nên $PO$ là phân giác góc $angle PBC$. (1)


• Mặt khác $angle BPA = angle ACD = angle ABE = angle APC$. Suy ra $PA$ cũng là phân giác của $angle BPC$. (2)


• Từ (1) và (2) ta có $A, O, P$ thẳng hàng, hay $AP$ luôn trải qua điểm $O$ cố định và thắt chặt.



Trên đấy là một số trong những bài toán chứng tỏ đường thẳng trải qua điểm cố định và thắt chặt. Tiếp theo toàn bộ chúng ta xem xét một vài ví dụ chứng tỏ đường tròn trải qua điểm cố định và thắt chặt.




Ví dụ 4.Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên những cạnh $AB, AC$ lấy những điểm thay đổi $D, E$ sao cho $BD = CE$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ trải qua một điểm cố định và thắt chặt khác $A$.




Gợi ý




Đây là một bài toán khá nhẹ nhàng, nếu cho $D, E$ thay đổi ta hoàn toàn có thể nhận thấy ngoài $A$ thì điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ còn trải qua một điểm nữa, có vẻ như gần gần điểm ở chính giữa cung $BC$. Một để ý quan tâm là vai trò $B, C$ như nhau nên điểm cố định và thắt chặt đó riêng với $B, C$ phải là như nhau. Từ đó ta hoàn toàn có thể mạnh dạn xác lập, điểm cố định và thắt chặt đó đó đó là yếu tố ở chính giữa cung $BC$. Từ đó đi đến chứng tỏ.








• Gọi $F$ là yếu tố ở chính giữa cung $BC$ chứa $A$.


• Ta có $FB = FC$, $angle DBF = angle ECF$ và $BD = CE$, suy ra $triangle DBF = angle ECF$ (c.g.c).


• Do đó $angle BDF = angle CEF$, suy ra $angle ADF = angle AEF$, suy ra tứ giác $ADEF$ nội tiếp hay $(ADE)$ qua điểm $F$ cố định và thắt chặt.



Chú ý:$(ADE)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$.




Ví dụ 5.Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các điểm $M, N$ lần lượt thay đổi trên $AB, AC$ sao cho độ dài hình chiếu của $MN$ trên đường thẳng $BC$ bằng nửa độ dài cạnh $BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ luôn trải qua một điểm cố định và thắt chặt khác $A$.




Hướng dẫn




Khi vẽ hình ta sẽ thấy điểm cố định và thắt chặt nằm trong tam giác $ABC$, do $B, C$ là vai trò như nhau, ta hoàn toàn có thể đoán điểm này là yếu tố đặc biệt quan trọng trong tam giác: trực tâm, trọng tâm, hay tâm đường tròn ngoại tiếp.








• Gọi $F, G$ là trung điểm của $AB, AC$, D, E là hính chiếu của $M, N$ trên $BC$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.


• Đường thẳng qua $O$ tuy nhiên tuy nhiên $BC$ cắt $MD, NE$ tại $P, Q.$.


• Ta có $DE = PQ = FG = dfrac12BC$. Suy ra $FGQP$ là hình bình hành.


• Các tứ giác $OMFP, OGNQ$ nội tiếp. Suy ra $angle ONG = angle OQG = 180^o angle OPF = angle OMF$.


• Do đó $AMOG$ nội tiếp. Vậy $(AMN)$ trải qua điểm $O$ cố định và thắt chặt.



Trên đấy là một số trong những ví dụ về những bài toán chứng tỏ đường trải qua điểm cố định và thắt chặt, kỳ vọng qua những bài toán này những bạn nắm được tiến trình giải và không ngại khó khi gặp những bài toán dạng này. Sau đấy là một số trong những bài tập rèn luyện thêm.




Bài tập



• Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, trên những tia $BA, CA$ lấy những điểm $D, E$ thay đổi sao cho $BD = CE$. Chứng minh rằng đường trung trực $DE$ luôn trải qua một điểm cố định và thắt chặt.


• Cho nửa đường tròn đường kính $AB$. $D$ thay đổi trên nửa đường tròn, trên tia $AD$ lấy điểm $D$ sao cho $AE = BD$. Chứng minh rằng đường trung trực của $DE$ trải qua một điểm cố định và thắt chặt.


• Cho tam giác $ABC$, trong số đó $BC$ cố định và thắt chặt và $A$ thay đổi. Về phía ngoài tam giác dựng những tam giác vuông cân tại $A$ là $ABD$ và $ACE$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $A$ vuông góc với $DE$ luôn trải qua một điểm cố định và thắt chặt.


• Cho tam giác $ABC$ nhọn. Về phía ngoài tam giác dựng những hình chữ nhật thay đổi $ABDE$ và $ACFG$ sao cho chúng có diện tích s quy hoạnh bằng nhau. Gọi $M$ là trung điểm của $EG$, chứng tỏ rằng đường thẳng $AM$ luôn trải qua một điểm cố định và thắt chặt.


• Cho tam giác $ABC$ có $BC$ cố định và thắt chặt và $A$ thay đổi. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC, AB, AC$ tại $D, E, F$. $DI$ cắt $EF$ tại $K$. Chứng minh rằng $AK$ luôn trải qua một điểm cố định và thắt chặt.


• Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, những điểm $D, E$ thay đổi trên những cạnh $AB, AC$ sao cho $AD = CE$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ luôn trải qua một điểm cố định và thắt chặt.


• Cho tam giác $ABC$ có $BC$ cố định và thắt chặt $A$ thay đổi. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $BC, AC, AB$ tại $D, E, F$. $BI, CI$ cắt $EF$ lần lượt tại $M, N$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ luôn trải qua một điểm cố định và thắt chặt.


• Cho tam giác $ABC$. Các điểm $D, E$ thay đổi trên cạnh $BC$ sao cho $angle BAD = angle CAE$ ($D$ nằm trong tâm $B, E$). Gọi $K$ là hình chiếu của $B$ trên $AD$, $L$ là hình chiếu của $C$ trên $AE$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $MKL$ luôn trải qua một điểm cố định và thắt chặt.



Share this:



• Click to share on Facebook (Opens in new window)


• Click to share on (Opens in new window)


• Click to print (Opens in new window)



Like this:




Like Loading…




Related




Điều khuynh hướng về trong dung bài viết




Phép vị tự (Phần 2)Đáp án toán PTNK 2013




Reply

8

0

Chia sẻ




Chia Sẻ Link Cập nhật Chứng minh những đường thẳng đều trải qua một điểm miễn phí




Bạn vừa đọc nội dung bài viết Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Review Chứng minh những đường thẳng đều trải qua một điểm tiên tiến và phát triển nhất và ShareLink Tải Chứng minh những đường thẳng đều trải qua một điểm Free.





Hỏi đáp vướng mắc về Chứng minh những đường thẳng đều trải qua một điểm




Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Chứng minh những đường thẳng đều trải qua một điểm vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Ad lý giải và hướng dẫn lại nha

#Chứng #minh #những #đường #thẳng #đều #đi #qua #một #điểm

Related posts: